[작성중] Optical CDMA Codes with Hierarchical Cross-correlation Properties

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- w=3, k=8, (that is, L = 11) d=0, q=7
- So called (MxN, w, \lambda_a, \lambda_c) = (7x11, 1, (1,2)) code
--> 현재 조건은 prime 조건에 매우 적합하므로 코드가 잘 찾아짐 (실제로 1-C코드 바운드 genseq 10개 모두 다 찾음)
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#1-C genseq	#2-C genseq	#total
1	130	131
2	92	94
3	62	65
4	42	46
5	30	35
6	18	24
7	10	17
8	4	12
9	2	11
10	0	10

꿩과 구창아저씨 제자네 2-C 코드 논문을 인용하여 쉬운 논문을 하나 쓸 수 있는데, 
(이건 \lambda_a = 2)
Class 1 은 group 에서 하나씩의 코드만을 차출하고
Class 2는 group 전체를 묶어서 본다. 임의로 이 그룹 개수를 n이라고 하였다.


1) Service Class 1 에 대하여, 코드 길이가 L이라 할 때 L개의 Code shift 중 1-C가 보장되는 서로 다른 그룹에 속하는 코드 사이의 비교는 w개의 충돌만을 가져오므로, 코드 cardinality와 상관 없이 1-C 충돌 확률 $p_1$ = w / L 로 고정된다.
intra cross-correlation은 거의 일정하다.
그리고 좋은 특성으로 인해 inter-cross-correlation 도 w/L 이란 확률에 기반하여 계산할 수 있다.



2) 아직 좀 불분명한 것은 2-C 코드에 대한 것인데 (서비스 클래스 2) 
(즉, 서로 같은 그룹에 속하는 두 코드들),
L = 13, w = 5 (p = (# of wavelength, 내가 줄곧 q라 부르던 것) = 5) 인 경우 신기하게도 2-C 가 나는 shift는
L = 13 time shift 중 2개의 shift뿐이었고(임의로 이 수치를 a라고 하자), 나머지 하나는 꼭 항상 1-C 였다. (이 수치는 임의로 b라고 하자.)
??a = (w - 1) / 2 ??
이라고 가정하면 2-C 충돌 확률 $p_2$ = { n p (p - 1) a } / 2이다.
풀어 설명하면, n개의 group에 대해 임의로 두 개의 코드를 고르는 가지수 (_p C _2 = p(p-1)/2) 에 timeshift 중 2-coincidence가 발생하는 가지수 (여기서는 a개) 를 곱하여 구한 것이다.

서비스 클래스 2의 전체 np 개의 코드 중 1개를 골라 L개의 timeshift를 가하는 것이 모든 사건의 전체 스페이스이므로 np (np-1) * L 이 가능한 모든 가지수이므로
확률은 {np (p-1) a /2 } / {np (np-1) L}
= a(p-1) / (np-1)L

??(위의 (w-1)/2 조건이 맞다면 이건 다시 (w-1)(p-1) / 2L(np-1) 이된다).
어차피 p = w이므로 논문 "Desing and Analysis 2-D Codes with the Maximum Cross-Correlation Value of Two for Optical CDMA" 논문에 나온
$q_2^i$ = \frac{ (w-1)^2 }{ 4n [ |C|_{(n,w,2,1}OOC} p^2 - 1}  과 같은 형태다.
(여기서 4n이 된 이유는 0과 1을 equiprobable하게 보낸다고 가정했기 때문, 내 식은 2L 이다... 그건 빼놓고 생각함)
rationale 도 같다고 생각한다.

weight에 따라 구창아저씨의 2-C코드의 특성이 다른가보다.
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이제 남은 문제는 Class 1의 1-C 확률인데, 이건 좀 더 신경써야 된다.
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이제 1-c 확률과 2-c 확률을 기반으로 BER을 계산해야 할텐데,
이건 꿩네 식을 거의 그대로 차용할 수 밖에 없겠다. (hard-limiting detection 가정)



그리고 다음 작업으로, throughput을 구하는 것이다.

두 서비스 클래스에 인가되는 로드가 동일하다고 하면 사실 재미가 없다.
로드가 서로 일정 비율을 가지고 인가가 따로따로 된다고 할 때,
각 클래스별로 얻을 수 있는 전체 throughput 그리고 최대 throughput을 얻는 그룹 배분 방식이 나올 것이다.

BER